Além do brasileiro (14' e 63'), Jude Bellingham (74') marcou para dar a vitória que deixa o time merengue com 35 pontos na tabela, um à frente do Girona, que fecha a rodada na segunda-feira recebendo o Athletic Bilbao.
"O jogo de hoje nos dá muita confiança para os próximos", disse após a vitória o técnico madridista, Carlo Ancelotti.
Jogando fora de casa, o Real Madrid, que na próxima quarta-feira recebe o Napoli pela Liga dos Campeões da Europa, conseguiu impor seu ritmo num jogo em que o Cádiz mostrou muita resistência com uma pressão intensa.
Rodrygo, que entrou como titular de última hora por uma indisposição de Brahim Díaz, abriu o placar com um belo chute no ângulo do goleiro Jeremias Ledesma.
Em desvantagem, o Cadiz continuou pressionando alto e dificultando a saída do Real Madrid, que teve uma série de desfalques, como o brasileiro Vinícius Júnior e os franceses Eduardo Camavinga e Aurélien Tchouaméni.
A solução de Ancelotti foi lançar como titulares os experientes Toni Kroos e Luka Modric, que ditaram o ritmo do meio-campo madridista.
No segundo tempo, após uma finalização na trave de Modric, Rodrygo fez grande jogada individual, deixou para trás dois marcadores e bateu firme para fazer 2 a 0.
"Rodrygo fez a diferença no jogo", elogiou Ancelotti.
O gol caiu como balde de água fria para o Cádiz e deu tranquilidade ao Real Madrid, que fechou o placar com um chute cruzado de Bellingham, artilheiro do Campeonato Espanhol com 11 gols.